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神奇的「克萊因瓶」是什麼?將地球上的水倒進去,也裝不滿
2023/04/11

提到 「克萊因」,大家第一反應應該是法國藝術家伊夫·克萊因,在上世紀60年代展示的一種混合顏色,在現代社會已經成為了高級和溫柔的代表。

但是今天,我們要講的不是這個「克萊因」,而是一個神奇的瓶子 「克萊因瓶」

而即便我們將其叫做「克萊因瓶」,它也 不是一個真正意義上的瓶子,因為在它的底部有一個洞,我們根本無法將其填滿。

接下來我們就來了解一下,神奇的「克萊因瓶」是什麼?為什麼將地球上的水倒進去,也裝不滿?

「克萊因瓶」無法真的存在于三維空間

最開始數學家 菲利克斯·克萊因,在1882年提出它的時候,用的是德語「Kleinsche Fläche」,正確的翻譯應該是 「克萊因平面」

只是後來人們在抄寫的過程中,將「Fläche」,抄成了「Flasche」,于是就變成「克萊因瓶」了。

之所以要提到這個典故,是因為我們根據它的描述, 制作出來的圖像其實就和瓶子沒什麼兩樣

在數學領域,克萊因瓶值得是一種無定向性的平面,就像在二維空間中一樣, 沒有內外之分

在拓撲學中,它指的就是一個 不可定向的拓撲空間

所以對其進行理解后,我們可以將克萊因瓶表述為:將一個 底部有洞的瓶子,進行延長,使得瓶頸能夠扭曲進入瓶子內部,最后于底部的洞連接起來。

如果是這樣的話,那麼一只螞蟻在瓶子的內部爬行,就 不需要爬到表面就可以來到瓶子外面了

兩個莫比烏斯環構成「克萊因瓶」

怎樣可以形象地理解這樣的結構呢?我們可以從 莫比烏斯環來進行理解。

二維空間屬于平面,這個大家都知道,也就是擁有正反兩面的紙條。

如果在這個紙條上,存在一個 二維生物,它此時需要從正面來到反面的話,必須要繞過紙條的邊緣才能抵達,當然如果它有本事直接穿過紙條也可以。

但現在我們不想這個二維生物這麼麻煩,于是將的一端 翻轉180°(180°的奇數倍都行),然后再將兩端粘在一起,也就是」莫比烏斯環「。

這個具有 單側曲面的二維環狀結構,是1858年數學家 奧古斯特·莫比烏斯發現的。

我們可以發現,如果將螞蟻放在這樣結構的紙條上,它既 不需要經過邊緣,也不需要穿過平面,就可以達到另一面了。

并且這樣的結構,可以說是 無限循環的,所以現在很多商家都將其視為愛情永恒的象征,制作出了類似結構的「莫比烏斯環」戒指。

這里的莫比烏斯環還存在著邊緣,但如果我們將兩個莫比烏斯環合在一起,那麼它們的邊緣就可以完全連接起來,于是就可以得到一個 封閉的結構

最后呈現出來的其實就是一個,沒有內外之分,能夠直接從內部進入外面的「克萊因瓶」。

關于莫比烏斯環屬于幾維空間,很多人多有爭議,但是既然我們能夠在三維空間看到并將其制造出來,那就可以

將其視作三維空間的曲面

而這樣兩個莫比烏斯環的疊加,顯然就上升了「克萊因瓶」的維度,使得其 只能在四維空間以上的世界存在

莫比烏斯環能夠無限循環,那麼兩個加在一起, 也可以實現這種永恒,所以我們才會說,如果這種瓶子真的存在,那麼即便將地球上的水都倒進去,也沒有辦法將其裝滿。

因此很多在市面上售賣的克萊因瓶, 其實都是假的,將水倒進去后,隨隨便便就能裝滿,這不過商家是為了尋一個賺錢的門道罷了。

四維空間是什麼?

那麼在四維空間中,世界又是怎樣的呢?

我們常說的四維空間又稱 「歐幾里得四維空間」,這其實是一個數學概念,所以一定要和愛因斯坦提出的「四維時空」區分開。

科學家們根據現代科學知識體系,甚至總結出了 11個維度空間,也就是在數學和物理學中,我們可以將n個數的序列,理解成一個n維度空間中的位置。

在我們所處的三維空間中,存在 三對主要方向,上下對應的是高度,南北對應的是維度,東西對應的就是經度。

這三對方向在空間中屬于兩兩正交,也就是 兩兩成直角,在數學上對應的就是咱們的x,y,z坐標軸了。

所以處于三維空間的人, 可以看到二維生物無法看到的被遮擋在墻背后的物體,并且能夠在不破壞空間的前提下就能將其拿出來。

而在四維空間,就多了一對可以和其他三個主要方向垂直的主要方向,對應的坐標軸為 w軸

這時候處于四維空間的生物,就可以看到三維生物無法看到的事物,并且輕松將其取出。

如果按照空間的組成來說,一維空間就是點,二維空間就是將多個點組合在一起,形成的平面,而 三維空間就是多個平面組成的「曲面」

那麼再這樣推算下去, 四維空間就是由多個三維空間組成的了。

然而由于人類現在作為三維生物,對于四維空間只能進行猜測,并基于現象總結,我們無法判斷其正誤,所以即便我們看到了一些現象,

也無法確定這是四維空間引起的

在三維空間中的「克萊因瓶」

市面上仍舊有很多 模仿的「克萊因瓶」,雖然從表面上看起來,似乎不需要經過瓶子外部就可以從內部出來。

但實際上,這樣的瓶頸和瓶身是相交在一起的,這就和我們概念中的「克萊因瓶」有很大區別,因為它根本就是自己穿過了自己的表面。

所以在三維空間中,人類 無法真的將兩個莫比烏斯環的邊緣完全連接起來,除非要穿過它的表面。

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